Báo cáo biện pháp Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn

Nội dung text: Báo cáo biện pháp Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN Lĩnh vực/môn : Toán Cấp học : Trung học cơ sở Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh, quận Đống Đa Chức vụ: Hiệu trưởng NĂM HỌC 2019 - 2020
2. Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Từ năm học 2006 – 2007 đến năm học 2018-2019, Sở GD&ĐT Hà Nội thực hiện phương án thi vào lớp 10 theo hình thức kết hợp thi tuyển với xét tuyển. Từ năm học 2019 – 2020, phương án thi vào lớp 10 là thi tuyển bốn môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh và môn thứ tư. Với cả hai phương án, kết quả bài thi môn Toán và Văn được nhân hệ số 2, đóng vai trò quan trọng trong việc quyết định tổng điểm của học sinh. Chính vì vậy, giáo viên luôn trăn trở việc làm thế nào để ôn luyện cho học sinh của mình ôn tập một cách có hệ thống, hoàn thiện kiến thức Trung học cơ sở môn Toán, ngày càng yêu thích môn học đồng thời đạt điểm cao trong bài thi vào lớp 10. Cấu trúc đề thi vào lớp 10 môn Toán của Hà Nội luôn ổn định với 5 dạng bài: Rút gọn biểu thức; Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình; Phương trình, hàm số, đồ thị; Hình học; Cực trị. Với những học sinh có lực học chưa tốt, bài toán rút gọn là một thử thách quan trọng. Hoàn thành được bài toán này học sinh có 2 điểm và tạo tâm lí tốt cho việc thực hiện các bài tập tiếp theo. Tuy vậy, các câu hỏi phụ của bài toán này ngày một đa dạng và khó. Chính vì vậy, tôi quyết định viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” 1.2. Nhiệm vụ và mục đích của đề tài Đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” với nhiệm vụ giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về bài toán rút gọn biểu thức chứa biến, hình thành phương pháp giải các câu hỏi phụ điển hình, từ đó giúp các em làm tốt bài thi vào lớp 10 môn Toán, đạt kết quả cao. Đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” thực hiện việc thuật toán hóa các dạng toán thường gặp liên quan tới biểu thức chứa căn thức từ đó giúp học sinh có cái nhìn tổng quát, hình thành kỹ năng và phương pháp làm bài đúng, đủ yêu cầu. Trang 3/17
3. Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn x 1 x 1 x 1 ; x 4 x 2 x 2 x x 1 x 1 x x 1 ; x x 1 x 1 x x 1 2 2 x 4 x 4 x 2 ; x 6 x 9 x 3 A A A A *) Qui tắc đổi dấu: hoặc B B B B *) Một số bài giải mẫu: 2 x 1 x 2 x 1 Bài 1. Rút gọn biểu thức P : x 2 2 x x x x 2 Bài giải. Đkxđ: x 0; x 4 Bình luận: Ta nhận thấy ở bài toán 2 x 1 x 2 x 1 này việc phân tích mẫu thành nhân tử P x 2 2 x x : x x 2 là đơn giản nhưng phải đổi dấu để 2 x 1 x 2 x 1 được mẫu chung hợp lí. (dòng thứ 2: P : x 2 x x 2 x x 2 vừa kết hợp đổi dấu mẫu đồng thời đổi 2 x x 1 x 2 x 2 x x 1 dấu phân thức và phân tích thành nhân P : x x 2 x x 2 tử, có lẽ nên tách làm 2 bước) x 1 x 4 x x P : x x 2 x x 2 x 1 x x 2 P . x x 2 x 4 x 1 P x 4 x 2 x 4 x Bài 2.Rút gọn biểu thức P 1 x : 1 x x 1 x Bài giải. Trang 5/17
4. Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn Bài 4. Rút gọn biểu thức x 3 x x 2 x P 2 2 3 x 5 : 1 x 1 x x x 6 Bài giải. x 3 x 2 x 2 x Bình luận: Bài toán này đã sử dụng P x 2 3 x x 5 x 6 : 1 x 1 2 kỹ thuật trong việc tách mẫu x 3 x 2 x 2 x 1 x P x 2 x 3 ( x 3).( x 2) : x 1 thành nhân tử kèm theo đổi dấu ( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2) x 2 1 mẫu, bên cạnh đó trong quá trình P : ( x 3).( x 2) x 1 rút gọn tử cũng sử dụng những x 9 (x 4) x 2 1 P : ( x 3).( x 2) x 1 hằng đẳng thức quen thuộc. x 9 x 4 x 2 1 P : ( x 3).( x 2) x 1 x 3 P .( x 1) ( x 3).( x 2) x 1 P x 2 ĐKxđ: x 0; x 4; x 9 Bài 5. Rút gọn biểu thức x 1 x 2 x 1 Bình luận: P x 1 x x 1 x x 1 Ở bài toán này có thể nhận thấy x 1 x 2 x 1 P những kỹ thuật: ( x 1)( x 1) ( x 1)(x x 1) x x 1 1 x 2 x 1 - Phân tích mẫu thành nhân tử rồi P x 1 ( x 1)(x x 1) x x 1 rút gọn phân thức (phân thức đầu x x 1 (x 2) ( x 1)( x 1) P tiên) ( x 1)(x x 1) x x 1 x 2 (x 1) - Sử dụng hằng đẳng thức P ( x 1)(x x 1) x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 P ( x 1)(x x 1) x x P ( x 1)(x x 1) x x 1 P ( x 1)(x x 1) x P x x 1 Trang 7/17
5. Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn x 1 3 5 Bài 3. Tính giá trị của P với x 0;x 4 biết x x 2 2 Bài giải 2 3 5 6 2 5 5 1 Bình luận: x (tmđk) thay vào 2 4 2 Đôi khi cách viết biểu thức cũng quan P ta có trọng không kém. ở bài này ta thấy x 2 2 5 1 5 1 có dạng phân thức. Chính vì thế nên P 1 : 2 2 2 viết theo kiểu Tử : Mẫu để biểu thức 5 1 5 1 5 1 2 5 1 4 không cồng kềnh. P 1 : 2 : 2 2 2 2 5 1 5 5 5 1 2 P : . 2 2 2 5 5 5 1 5 1 5 5 5 5 5 5 5 P 5 5 5 5 5 5 5 25 10 6 5 5 3 5 P 20 10 2.2.2 Dạng 2:Tìm x biết P = a (a là một giá trị thực) Bản chất của câu hỏi này là giải phương trình (chứa căn). Vậy phải chú ý: - Qui đồng và bỏ mẫu - Đặt t xvà đừng quên đặt điều kiện cho t. - Tìm được t thoả mãn điều kiện đã đắt. - Tìm x thông qua t. x 1 Bài 1. Cho P với x 0; x 1; x 4 .Tìm x biếtP x x 2 Bài giải x 1 P x x x 3 x 1 0 x 2 Đặt x t t 0;t 1;t 2 t2 3t 1 0 Trang 9/17
6. Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn Bài giải x 1 P P P 0 0 x 3 Ta có x 0 x 0 x 1 1 0 x 1 Để 0 x 3 0 x 3 x 9 x 3 0 x 9 Kết hợp điều kiện xác định: x 1 2.2.4. Dạng 4: So sánh P với một số a Phương pháp: Xét hiệu P - a. - Nếu P - a > 0 P >a - Nếu P - a <0 P <a 2 x Bài 1. Cho P với x 0; x 1. So sánh P với 2 x 1 Bài giải 2 2 1 2 x x 2 Xét P 2 x 2 P 2 P 2 x 1 1 1 x x Ta có x 0 x 0 x 1 1 0 2 P 2 0 với mọi x thoả mãn đkxđ x 1 P 2 với mọi x thoả mãn đkxđ Vậy P < 2 với mọi x thoả mãn đkxđ. x x 1 Bài 2. Cho P với x 0; x 1. So sánh P với 3 x Bài giải 2 x x 1 x x 1 3 x x 2 x 1 x 1 Xét P 3 3 P 3 x x x x 2 Ta có x 0; x 1 x 1 0; x 0 2 x 1 P 3 0 P 3 x thỏa mãn điều kiện x x x 1 Bài 3. Cho P với x 0; x 1. So sánh P với P x 1 Trang 11/17
7. Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 7 Bài 3. Cho P với x 0 . Tìm x để P có giá trị nguyên. x 3 Bài giải Ta có x 0 nên P > 0 7 7 7 Mặt khác x 0 x 3 3 nên 0 P . Để P Z P 1;2 x 3 3 3 +) P = 1 x 16 (thỏa mãn điều kiện) 1 +) P = 2 x (thỏa mãn điều kiện) 1 4 Vậy x ;16  4  2.2.6. Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P Đối với dạng toán này ta chia làm loại bài tập thường gặp: Khi chia tử cho mẫu, thương là số thì thực hiện đánh giá từ điều kiện của x. Khi chia tử cho mẫu, thương là biến thì phương pháp thực hiện là sử dụng bất đẳng thức Cô – si (AM- GM). 3 Bài 1. Cho P với x 0; x 4 . Tìm giá trị lớn nhất của P. x 2 Bài giải Ta có x 0 x 0 x 2 2 1 1 x 2 2 3 3 x 2 2 3 P 2 3 3 P khi x = 0.Vậy giá trị lớn nhất của P là khi x = 0. max 2 2 5 x 13 Bài 2. Cho P với x 0; x 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x 3 Bài giải 2 Ta có P 5 x 3 Trang 13/17
8. Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 8 8 2 2 2 2 x 2 . x x 2 x 2 8 2 x 2 8 x 2 8 2 x 2 8 8 8 x 2 P 16 Pmin 16 khi 8 2 2 2 4 x 16 x x 2 x 2 x 2 4 x 16 2 x 0(l) x x 2 2 x 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 16 khi x = 16. 2.2.7. Dạng 7: Tìm giá trị của tham số m để P thoả mãn một đẳng thức, một bất đẳng thức: Những bài tập của dạng toán này thường được quy về phương trình, bất phương trình và thực hiện biện luận theo điều kiện ban đầu để kết luận về tham số. Chúng ta nên hướng dẫn với đối tượng học sinh giỏi một chút kiến thức về nghiệm và số nghiệm của phương trình, một số quy tắc giải bất phương trình. 2x x 0 Bài 1. Cho P với . x 2 x 4 Tìm m để có 1 giá trị x thoả mãn: P x 2 x m 2x x m 1 Bài giải P x 2 x m 2x x m 1 x 1 2x m 1 0 x 1(tmdk ) x m 1 2 m 1 2 1 m 3 m 1 Để có 1 giá trị x thì: 0 m 1 . Vậy m < 1 hoặc m=3; hoặc m = 9 2 m 9 m 1 4 2 4x Bài 2. Cho P với x 0 : x 4 ; x 9 x 3 Trang 15/17
9. Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 1 2 5 1 .P m x m 1 0 m 0 x x x x 2 4 1 5 m (1) 2x 4 2 Ta có 2 1 1 1 1 x 0 x 0 x x 4 (2) 2 2 2 5 1 Từ (1) và (2): m m 1 4 4 Trang 17/17
10. Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Toán 9 tập 1, tập 2 – NXB GD VN 2. Hà Văn Chương - 838 bài toán bât đẳng thức – NXB ĐHQG TPHCM. 3. Nguyễn Đức Tấn – Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số (THCS) – NXB Giáo dục 4. Trần Phương – Những sai lầm thường gặp khi giải toán. 5. Nguyễn Vũ Thanh – Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS : Đại Số - NXB Giáo dục. 6. Phạm Quốc Phong – Nâng cao đại số - NXB Giáo dục. 7. Nguyễn Văn Mậu -Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp không mẫu mực – NXB Giáo dục. Trang 19/17