Báo cáo biện pháp Giải một số bài toán vận dụng nghiệm của phương trình bậc hai

Nội dung text: Báo cáo biện pháp Giải một số bài toán vận dụng nghiệm của phương trình bậc hai

1. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: "Giải một số bài toán vận dụng nghiệm của phương trình bậc hai”. Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Kiều Nga Tam Dương, năm 2019
2. mảng toán, là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là điều quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học vào con đường hình thành phương pháp tư duy khoa học cũng như trong cuộc sống. Cùng với việc dạy học các kiến thức cho học sinh, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, việc cung cấp cho học sinh kiến thức nâng cao và con đường đào sâu kiến thức có vị trí then chốt, nó cung cấp cho học sinh vốn kiến thức cơ bản và nâng cao cùng các cách giải quyết các vấn đề khó khăn trong học toán, giải toán. Qua đó giáo dục, rèn luyện toàn diện học sinh theo mục đích bộ môn, góp một phần lớn vào việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục. Kiến thức cơ sở * Phương trình ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c b c x2 x a a 2 2 2 b b b c x 2.x. 2a 2a 2a a 2 b b2 4ac x 2 2a 4a Người ta ký hiệu: b2 4ac. - Nếu 0 thì phương trình ax2 bx c 0 a 0 có 2 nghiệm phân biệt: b b x ; x 1 2a 2 2a - Nếu 0 thì phương trình ax2 bx c 0 a 0 có nghiệm kép: b x x 1 2 2a - Nếu 0 thì phương trình ax2 bx c 0 a 0 vô nghiệm * Phương trình ax2 bx c 0 a 0 , đặt b=2b’ Thì: b2 4ac 2b' 2 4ac 4b'2 4ac 4 b'2 ac Ký hiệu: ' b'2 ac , ta có: 4 ' 3
3. - Nếu A=0 thì phương trình (2) - 4x – 3 = 0 3 x= 4 3 A=0 x= (*) 4 - Nếu A 0, thì phương trình bậc hai ẩn x: Ax2 - 4x +A – 3 = 0 (2) Có nghiệm khi và chỉ khi: ' 0 (-2)2-A(A-3) 0 4-A2+3A 0 (4-A)(A+1) 0 4 A 0 A 4 A 1 0 A 1 1 A 4 4 A 0 A 4 (VN) A 1 0 A 1 1 *Max A=4, Thay vào (2) ta có: 4x2 – 4x + 1 = 0 x 2 *Min A=1, Thay vào (2) ta có: –x2 - 4x – 4=0 x= - 2 1 Đối chiếu với (*) ta có: Max A=4 x 2 Min A= -1 x= - 2 2x2 2x 9 b, B x2 2x 5 Ta có: x2 +2x+5=(x+1)2+4 0,x R 2x2 2x 9 Nên B B(x2 + 2x + 5) = 2x2 - 2x + 9 x2 2x 5 (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = 0 (3) Nếu B=2 thì phương trình (3) 6x+1=0 1 x 6 Nếu B 2 thì phương trình bậc hai ẩn x: (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = 0 5
4. 1 4b 1 2 b a 2 1 2 8 2 2 2 b 1 b 1 2 2 1 a 1 a a 2 a 2 .1 2 8 2 8 b 1 ax b 1 Vậy: Để biểu thức M ; (4) đạt giá trị nhỏ nhất bằng , đạt giá trị lớn nhất x2 2 2 a 2 a 2 bằng 1 thì: hoặc b 1 b 1 Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 xy y2 A với x 0; x2 y2 - Xét y=0 A=1(*) 2 x2 xy y2 x x 1 y2 y2 y2 y y - Xét y 0 ta có A x2 y2 2 x 2 2 1 y y y x t 2 t 1 t 2 t 1 Đặt t , ta có: A , ta có: t2+1 0 Nên : A At2+A=t2+t+1 y t 2 1 t 2 1 (A-1)t2-t+A-1=0 - Nếu A=1 thì t=0 ( ) - Nếu A 1, thì phương trình bậc hai: (A-1)t2-t+A-1=0 (ẩn t) có nghiệm: 1-4(A-1)(A-1) 0 4A2-8A+3 0 (2A-1)(2A-3) 0 1 A 2 (VN) 2A 1 0 3 A 2A 3 0 2 2A 1 0 1 A 2A 3 0 2 1 3 A 3 2 2 A 2 1 3 3 A ( )Từ (*),( ) và ( ) ta có: Max A= x=y 2 2 2 7
5. x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0 x2+2(y-4)x+2y2-6y+13=0; (Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm: ' 0 (y-4)2-(2y2-6y+13) 0 y2-8y+16-2y2+6y-13 0 -y2-2y+3 0 y 1 0 y 1 3 y 1 y 3 0 y 3 y2+2y-3 0 (y-1)(y+3) 0 y 1 0 y 1 (VN) y 3 0 y 3 Nên y có giá trị lớn nhất là 1, thay y=1 vào phương trình (5) ta có: x2+2+2x-8x-6+13=0 x2-6x+9=0 (x-3)2=0 x-3=0 x=3 Vậy x=3 thì y đạt giá trị lớn nhất bằng 1 Bài toán 4: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- ĐHQG Hà Nội- Năm học 2004-2005): Tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: x2+5y2+2y-4xy-3=0; (4) Giải: Ta có: x2+5y2+2y-4xy-3=0 x2-4yx +5y2+2y-3=0 (Phương trình bậc hai ẩn x) có nghiệm: ' 0 (-2y)2-(5y2+2y-3) 0 4y2-5y2-2y+3 0 -y2-2y+3 0 y 1 0 y 1 3 y 1 y 3 0 y 3 y2+2y-3 0 (y-1)(y+3) 0 y 1 0 y 1 (VN) y 3 0 y 3 Nên y có giá trị nhỏ nhất bằng -3, thay y=-3 vào phương trình (4) ta có: x2+5(-3)2+2(-3)-4x(-3)-3=0 x2+12x+36=0 (x+6)2=0 x=-6 Vậy: (x;y)=(-6;-3) Bài toán 5: Tìm m để phương trình ẩn x sau x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 (5) có nghiệm là lớn nhất, nhỏ nhất: Giả sử x0 là nghiệm của phương trình đã cho, phương trình ẩn m sau có nghiệm: 2 4 2 m +2(x0+1)m+ x0 +2 x0 +1=0 khi ' 0 2 4 2 (x0+1) - ( x0 +2 x0 +1) 0 9
6. 5 5 1y2 1 y 4 4 1 1 y2 y 0 2 2 y2 2y 1 0 y 1 2 0 y 1 Vậy: Cặp số (x;y) thỏa mãn: 2 5 x 1y x 1 y ; Sao cho x đạt giá trị lớn nhất là (x;y)= ;1 . 4 Bài toán 7: Cho các số thực thõa mãn: 9x2+y2=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M= x y . Giải Đặt: A=x-y, Suy ra: y=x-A 9x2+y2=1 9x2+(x-A)2-1=0 10x2-2Ax+A2-1=0 ( phương trình bậc 2 ẩn x) có nghiệm: ' 0 A2-10(A2-1) 0 -9A2+10 0 10 10 A2 A 9 3 10 10 Hay: M= x y . Hay giá trị lớn nhất của M là 3 3 Bài toán 8: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Năm học 2008-2009- Hà Tĩnh) Cho các số x,y thỏa mãn: x2+2y2+2xy+8(x+y)+7=0 ; (8) Tìm Min, Max của S=x+y Giải: Từ: S=x+y, Suy ra : y=S-x, thay vào (8) ta có: x2+2(S-x)2+2x(S-x)+8(x+S-x)+7=0 x2+2(S2-2Sx+x2)+2xS-2x2+8S+7=0 x2+2S2-4Sx+2x2+2xS-2x2+8S+7=0 x2-2Sx +2S2+8S+7=0 ( Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm ' 0 (-S)2-(2S2+8S+7) 0 S2-2S2-8S-7 0 S2+8S+7 0 (S+1)(S+7) 0 11
7. 2 2 0 y 2 4 y 3y 2 0 y2+4y+4-4y2-12y-8 0 -3y2-8y-4 0 3y2+8y+4 0 y 2 y 2 0 2 y 3y 2 0 3 2 (y+2)(3y+2) 0 2 y y 2 0 y 2 3 3y 2 0 2 y 3 Vì y Z nên: 2 y 1: - Với y=-2, thay y=-2 vào phương trình x2-xy+y2=2x-3y-2 ta được: x2+2x+4=2x+6-2 x2=0 x=0. ta có: (x;y)=(0;-2) - Với y=-1, thay y=-1 vào phương trình x2-xy+y2=2x-3y-2 ta được: x2+x+1=2x+3-2 x2-x=0 x(x-1)=0 x=0 hoặc x=1. ta có: (x;y)=(0 ;-1) (x;y)=(1;-1) Vậy: Phương trình có 3 nghiệm nguyên là: (x;y)=(0;-2) (x;y)=(0 ;-1) (x;y)=(1;-1) Bài toán 3: T×m cÆp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n: 3x2 + 4y2 + 6x +4 y - 5 = 0 (3) Giải (3) 3x2 + 6x + 4y2 +4 y - 5 = 0 Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm ' 0 9 – 3(4y2 + 4y – 5) 0 -y2 - y + 2 0 ( y – 1)(y + 2) 0 -2 y 1 Vì y Z, nên y = ( -2; -1; 0; 1) Suy ra: (x; y) = (-1; 2), (-1; 1) Bài tập :Tìm cÆp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n: 1) x2 + y2 + xy - 2x - y = 0 2) x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + 2 = 0 3) x2 + 2y2 + 2xy - 3y - 4 = 0 13
8. 4 3y2 - 6y - 1 0 3y2 - 6y + 3 4 3(y - 1)2 4 (y - 1)2 3 4 Vai trò x và y trong (3) bình đẳng. Do đó ta cũng có (x - 1)2 3 Bài toán 4: Cho a,b là hai số thực thỏa mãn: a2+4b2=1; (4) 5 Chứng minh rằng: a b . 2 Giải: Đặt a-b=x; a=b+x, thay vào (4) ta có: (b+x)2+4b2=1 5b2+2xb+x2-1=0 (*) (Phương trình bậc hai ẩn b) có nghiệm ' 0 5 5 5 x2-5(x2-1) 0 -4x2+5 0 x2 x Hay: a b 4 2 2 Bài toán 5: Cho a,b,c thỏa mãn: a b c 4 ab bc ca 5 2 Chứng minh rằng: a,b,c 2 3 a b c 4 b c 4 a b c 4 a Giải: Ta có ab bc ca 5 bc 5 a b c bc 5 a 4 a Khi đó b,c là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x sau: x2-(4-a)x+5-4a+a2=0, có nghiệm 0 (a-4)2-4(5-4a+a2) 0 a2-8a+16-20+16a-4a2 0 -3a2+8a-4 0 3a2-8a+4 0 (a-2)(3a-2) 0 a 2 0 3a 2 0 2 a 2 a 2 0 3 3a 2 0 2 a 2 3 2 2 2 Tương tự ta có: b 2 ; c 2 Vậy: a,b,c 2 3 3 3 Bài toán 6: ( Đề Thi HSG Toán 9 huyện Cẩm Xuyên năm học 2013- 2014) 15
9. - Phải xác định đúng mục tiêu môn học, lựa chọn phương pháp phù hợp, linh hoạt với từng kiểu bài, dạng bài, chú ý phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. - Tâm huyết, yêu nghề, có tinh thần trách nhiệm, chịu khó tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu để nâng cao trình độ chuyên môn. - Lựa chọn những nội dung, những chuyên đề phù hợp vừa đảm bảo kiến thức bám sát vừa nâng cao, chuyên sâu hợp lí. - Qua việc nêu vấn đề nhận thức, tạo động cơ, hứng thú cho học sinh, giáo viên cố gắng biến ý đồ dạy học của mình thành nhiệm vụ học tập tự nguyện, tự giác của học sinh, chuyển giao cho trò những tình huống để trò hoạt động. - Khuyến khích học sinh sưu tầm tài liệu để có những cách giải hay liên quan đến chuyên đề. - Giảng dạy cho học sinh nắm được bản chất, trọng tâm vấn đề. Sau đó gợi mở cho các em hướng tự nghiên cứu, khai thác vấn đề. Cần có câu hỏi tự ôn tập, tự kiểm tra cho các em . - Coi trọng kết quả, đánh giá học sinh theo tinh thần đổi mới, kiểm tra đánh giá trên cơ sở bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng môn học, chú trọng đến phát triển năng lực người học. * Đối với học sinh: - Xác định được mục đích học tập đúng đắn, nghiêm túc. - Xác định được nhiệm vụ của mình là chủ động hoạt động nhận thức dưới sự hướng dẫn của giáo viên. - Luôn biết đưa ra những câu hỏi, những vấn đề nảy sinh trong quá trình nhận thức. - Vừa biết tư duy độc lập, vừa biết phối hợp nhóm khi cần thiết để tìm ra tri thức. - Luôn chuẩn bị bài chu đáo trước khi đến lớp. VIII. Những thông tin cần được bảo mật: Không IX. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: + Nguồn lực: - Học sinh đại trà - Giáo viên: vững chuyên môn, nhiệt tình, trách nhiệm. + Thời gian: bố trí thời gian phù hợp dành cho các chuyên đề. + Cơ sở vật chất: có phòng học đầy đủ, trang thiết bị dạy học (máy chiếu, máy tính, .) 17
10. Đề tài “Giải một số bài toán vận dụng nghiệm của phương trình bậc hai” tuy là một vấn đề khó nhưng trong quá trình tìm hiểu tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích không những cho bồi dưỡng học sinh giỏi mà còn bồi dưỡng kiến thức cho giáo viên, đặc biệt là những em học sinh muốn thi tuyển vào các lớp chọn, lớp chuyên của trung học phổ thông, hy vọng qua đề tài này góp một phần nhỏ vào kho tàng kiến thức của quý thầy cô giáo và các em học sinh. XI. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu: Số Tên tổ Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực TT chức/cá áp dụng sáng kiến nhân 1 Lớp 9A Trường THCS Đồng Tĩnh- Bồi dưỡng cho học sinh lớp 9 Tam Dương- Vĩnh Phúc Tam Dương, ngày tháng 3 năm 2019 Tam Dương,ngày 25 tháng 02 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị Tác giả sáng kiến (Ký tên, đóng dấu) (Ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Kiều Nga 19