Báo cáo biện pháp Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - Si

Nội dung text: Báo cáo biện pháp Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - Si

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI Lĩnh vực: Toán Cấp học: Trung học cơ sở Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh, Quận Đống Đa Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Năm học 2018 - 2019
2. MỞ ĐẦU  I. Lý do chọn đề tài Toán học nói chung và toán học phổ thông nói riêng đã giúp người học, người nghiên cứu nó có được kiến thức, tư duy logic và khả năng suy luận. Đối với những học sinh trung học cơ sở, toán học đã hình thành cho các em những kiến thức cơ sở ban đầu, những kiến thức cơ bản nhất của toán học hiện đại. Qua những bài học, những vấn đề toán cùng với những cách thức suy luận đã giúp các em hình thành tư duy toán học. Toán học sơ cấp có lẽ là mảng toán học đòi hỏi trí thông minh, óc tư duy linh hoạt của người học, trong đó bất đẳng thức (BĐT) là vấn đề hay và khó. Từ các lớp trung học cơ sở, học sinh được giới thiệu một cách cơ bản nhất về bất đẳng thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Và hầu hết những người đã học bất đẳng thức, ai cũng biết về một bất đẳng thức kinh điển, nổi tiếng: bất đẳng thức Cô-si. Nhưng một thực tế chung đối với học sinh phổ thông là việc vận dụng bất đẳng thức Cô - si vào giải toán gặp rất nhiều khó khăn. Chính vì vậy, để giúp học sinh có thể khắc phục phần nào những khó khăn trên, tôi viết đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" II. Nhiệm vụ, mục đích của đề tài Đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" sẽ giới thiệu đến với học sinh về bất đẳng thức Cô – si và một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si. Bên cạnh đó, đề tài cũng chỉ ra những sai lầm thường gặp khi học sinh sử dụng bất đẳng thức Cô – si. Đề tài được viết theo cách thức lý thuyết đi kèm với ví dụ minh họa. Bên cạnh việc cung cấp, tổng kết những cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si, đề tài còn giới thiệu những bài toán minh họa, áp dụng các kỹ thuật được giới thiệu. III. Phạm vi của đề tài Với học sinh trung học cơ sở, lớp 8 các em mới được giới thiệu và tiếp cận với bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức Cô -si nói riêng. Vì vậy, đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" hướng tới việc giúp cho học sinh lớp 8; lớp 9 có được những kiến thức về bất đẳng thức Cô-si và một số kỹ thuật sử dụng từ đó giúp cho các em phát triển tư duy về bất đẳng thức, đặt nền móng cho các cấp độ lớn hơn sau này. IV. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành Đề tài tập trung nghiên cứu về bất đẳng thức Cô-si. Trên cơ sở những kiến thức cơ bản về dạng bất đẳng thức, tổng kết một kỹ thuật thường dùng. Phương pháp chủ yếu của đề tài là phương pháp nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm trong thực tế giảng dạy. 3/23
3. 2. Những quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô – Si: Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn. Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại Trên là 5 quy tắc sẽ giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh sẽ thực sự hiểu được các quy tắc trên qua các ví dụ và bình luận ở phần sau. 5/23
4. Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab  a, b ≥ 0. Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 331.a.b. 3.3 a.b.ab 9ab Bình luận: • 9 = 3.3 gợi ý sử dụng Cô-si cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Cô Si cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó. Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2  a, b ≥ 0 Côsi Giải: Ta có: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 33 33a3b3 = 9ab2 Bình luận: • 9ab2 = 9.a.b.b gợi ý đến việc tách hạng tử 7b 3 thành hai hạng tử chứa b 3 để khi áp dụng BĐT Cô-si ta có b 2. Khi đã có định hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn. a,b,c, d 0 1 Bài 5: Cho: 1 1 1 1 CMR : abcd 81 3 1 a 1 b 1 c 1 d Giải Từ giả thiết suy ra: 1 1 1 1 b c d Côsi 1 - 1 1 = 3 bcd 1 a 1 b 1 c 1 d 1 b1 c1 d 3 1 b 1 c 1 d Vậy: 1 3 bcd 0 3 1 a 1 b 1 c 1 d 1 cda 1 b 3 3 0 1 abcd 1 c 1 d 1 a 1 1 a 1 b 1 c 1 d 81 1 a 1 b 1 c 1 d 3 dca 0 1 c 3 1 d 1 c 1 a 1 abc 3 3 0 1 d 1 a 1 b 1 c 1 abcd 81 Bài toán tổng quát: Cho: x , x , x , , x 0 11112 3 n 1 1 CMR : x x x xn n n 1 1 2 3 n 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 3 n Bình luận: 7/23
5. 4 b 1 b 1 4 VT + 1 = a 1 2 a b a b b 1 2 2 a b b 1 b 1 Côsi b 1 b 1 4 4.4 a b . . . 4 ĐPCM 2 2 a b b 1 b 1 Bài 5: Bài toán tổng quát: Cho: x x x , xn 0 và 1 k Z . CMR: 1 2 3 1 a n 1 k 2 1 k a k k a a a a a a n 1 k 2 n 1 k n 1 2 2 3 n 1 n k Giải VT = 1 an a a a a a an 1 2 2 3 n 1 k k k an a1 a 2 a 2 a 3 an a1n a a a a a an a an 1 a 1 2 1 2 n 1 n 1 n k k k k k k k a a a a a a an 1 2 2 3 n 1 n k k a1 a2 a1 a2 an 1 an an 1 an 1 n 1 k 2 . n 1 k 2 a n . k k k k k k k an a1 a 2 a 2 a 3 a n 1 an k k n 1 k 2 n 1 k 2 n 1 k k Tóm lại: Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số. Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm. Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi. 3. Kỹ thuật 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Cô-si và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến. 1 Bài 1: Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của S a a Giải 1 1 Sai lầm thường gặp của học sinh: S a ≥ 2a =2 a a 1 Dấu “ = ” xảy ra a a = 1 vô lí vì giả thiết là a ≥ 2. a Cách làm đúng: 9/23
6. Lời 1 giải đúng: S a a a 1 6a Côsi a a 1 6a 3 6a 3 6.2 9 a2 8 8 a2 8 33 8 . 8 .a2 8 4 8 4 8 4 9 Với a = 2 thì Min S = 4 a,b,c 0 1 1 1 3 Bài 3: Cho a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của S a b c a b c 2 Giải Sai lầm thường gặp: 1 1 1 1 1 1 S a b c 66 a.b.c. . . 6 Min S = 6 a b c a b c Nguyên nhân sai lầm : 1 1 1 3 Min S = 6 a b c 1 a b c 3 trái với giải thiết. a b c2 Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi a b c 1 2 1 1 a b c Sơ đồ điểm rơi: a b c 2 1 2 4 2 11 1 22 a b c Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau: a b c 1 2 a b c 2 4 1 2 4 2 1 1 1 2 2 2 a b c Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 như sau: 1 1 1 1 1 1 S 4a 4b 4c 3 a b c 66 4a.4b.4c. . . 3 a b c a b c a b c 3 15 1 15 12 3. . Với a b c thì MinS = 2 2 2 2 a,b,c 0 Bài 4: Cho 2 1 2 1 2 1 a b c 3 . Tìm GTNN của S a b c b2 c2 a2 2 Giải Sai lầm thường gặp: 2 1 2 1 S 33 a . b . c2 1 2 1 2 1 2 1 b2 c2 a2 36 a b2 . b c2 . c a2 11/23
7. 4. Kỹ thuật 4: Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC) Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu “ + ” bằng dấu “ . ” thì ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng là thay dấu “ . ” bằng dấu “ + ”. Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số. Bài 1 : CMR ab cd a c b d a,b,c,d 0 (1) ab cd Giải(1) 1 Theo BĐT Cô-si ta có: a c b d a c b d 1 a b 1 c b 1 a c b d 1 VT 2 a c b c 2 a c b d 2 a c b c 2 1 1 1(đpcm) Bình luận: • Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số ta có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số. • Dấu “ ≤ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Cô-si thì ta phải đánh giá từ TBN sang TBC a c 0 Bài 2: CMR c a c c b c ab  (1) b c 0 c a c c b c Giải Ta có (1) tương đương với : 1 ab ab Theo BĐT Cô-si ta có: 1 c a c 1 c b c 1 a b c a c c b c 1(đpcm) 2 b a 2 a b 2 a b ab ab Bài 3: CMR 1 3 abc 3 1 a 1 b 1 c a,b,c 0 (1) Giải: Ta có biến đổi sau, (1) tương đương: 1.1.1 abc 3 3 3 1.1.1 abc 1 a 1 b 1 c 3 3 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Theo BĐT Cô-si ta có: 1 1 1 1 1 a b c 1 a 1 b 1 c 1 1 VT 3 1 a 1 b1 c 3 1 a1 b1 c 3 1 a 1 b1 c 3.3 1 Dấu “ = ” xảy ra a = b = c > 0. Ta có bài toán tổng quát 1: CMR: n n a a an b b bn n a b a b a b 1 2 1 2 1 1 2 2 n n  ai ,bi 0 i 1, n 13/23