Báo cáo biện pháp Phát triển tư duy học sinh thông qua dạy học ứng dụng những Hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán

Nội dung text: Báo cáo biện pháp Phát triển tư duy học sinh thông qua dạy học ứng dụng những Hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC ỨNG DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀO GIẢI TOÁN Môn: Toán Cấp học: Trung học Cơ sở Tên tác giả: Đặng Thị Hương Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh Chức vụ: Giáo viên NĂM HỌC 2019 – 2020
2. Để thực hiện những mục tiêu trên thì đòi hỏi những người trong cuộc phải nỗ lực, cố gắng không ngừng, phải tìm ra cho mình một phương pháp làm việc tối ưu và hiệu quả. Qua quá trình dạy toán, tôi thấy rằng những HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ theo suốt quá trình học toán của học sinh lớp 8 và các lớp sau đó. Các hằng đẳng thức đáng nhớ được ứng dụng ở rất nhiều thể loại toán khác nhau như thực hiện phép tính, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị, Chính vì những lý do đó mà tôi chọn chủ đề “Phát triển tư duy học sinh thông qua dạy học ứng dụng những Hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán” nhằm giúp thầy và trò hoàn thành mục tiêu mà ngành giáo dục đã đặt ra. II. Mục đích nghiên cứu: - Rèn cho học sinh có kỹ năng về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các chương học sau, các môn học khác và ở các lớp học sau nhằm mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế. - Bồi dưỡng cho học sinh các kỹ năng, kỹ xảo và thói quen giải các bài tập liên quan. - Giúp học sinh phát triển tư duy trừu tượng, rèn luyện cho học sinh khả năng độc lập suy nghĩ, sáng tạo và khả năng suy luận, đồng thời góp phần hình thành và củng cố phẩm chất đạo đức thẩm mỹ. III. Phương pháp nghiên cứu: * Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết Phương pháp giả thuyết Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp quan sát khoa học Phương pháp điều tra Phương pháp thực nghiệm khoa học Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm Phương pháp chuyên gia. IV. Thời gian, địa điểm: - Thời gian: Từ năm học 2017 – 2018; 2018 – 2019 đến năm học 2019 – 2020 - Địa điểm: Trường THCS Thái Thịnh, quận Đống Đa, Hà Nội V. Đóng góp mới về lý luận 2/15
3. viên phải rèn cho học sinh khả năng quan sát, nhận xét để áp dụng hằng đẳng thức một cách hợp lý. Để làm được điều đó sau mỗi giờ học giáo viên phải giúp học sinh tự kiểm tra, hệ thống, diễn giải, khám phá, nêu ra vấn đề và tìm hướng giải quyết vấn đề, từ đó học sinh rút ra được kinh nghiệm học hiệu quả sau mỗi bài học. I. Tổng quan: Nhờ có hằng đẳng thức đáng nhớ giúp ta giải quyết được một số dạng bài tập sau: I.1. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép tính I.2. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức I.3. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử I.4. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chia đa thức cho đa thức I.5. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để hỗ trợ việc thực hiện phép tính về phân thức I.6. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình một ẩn I.7. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh đẳng thức I.8. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức I.9. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để tìm cực trị I.10. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh tính chia hết, không chia hết I.11. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Thông qua việc dạy các ứng dụng trên nhằm phát triển tư duy của học sinh. II. Nội dung vấn đề nghiên cứu Các kiến thức cần nhớ: 1.(a b)2 a2 2ab b2 5.(a b)3 a 3 3a2b 3ab2 b3 2.(a b)2 a2 2ab b2 6.a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 3.a2 b2 (a b)(a b) 7.a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 4.(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 Ngoài ra, khi dạy cho học sinh khá, giỏi, giáo viên cần cung cấp thêm các hằng đẳng thức sau: Bằng phép nhân đa thức, ta chứng minh được các hằng đẳng thức sau: 1.an bn (a b)(an 1 an 2b abn 2 bn 1) với mọi số n nguyên dương 2.an bn (a b)(an 1 an 2b abn 2 bn 1) với mọi số nguyên dương lẻ n 4/15
4. Thay x =87 và y = 13 vào ta có x y x y 87 13 87 13 100.74 7400 Ví dụ 2.2. Cho a b 1. Tính giá trị M 2 a3 b3 3 a2 b2 Giải: M 2 a3 b3 3 a2 b2 2 a b a2 ab b2 3a2 3b2 .Vì a b 1 2 nên M 2.1. a2 ab b2 3a2 3b2 2a2 2b2 2ab 3a2 3b2 a b 1 Ví dụ 2.3. Tính giá trị của biểu thức. 432 112 43 11 43 11 54.32 3 36, 5 2 27, 5 2 36, 5 27, 5 36, 5 27, 5 9.64 x y z a 2 2 2 2 3 3 3 Ví dụ 2.4. Cho x y z b ; Tính x y z theo a, b, c 1 1 1 1 x y z c Giải: Áp dụng hằng đẳng thức x3 y3 z3 3xyz x y z x2 y2 z2 xy yz zx 3 3 3 2 x y z 3xyz a b xy yz zx . Cần tính xy yz zx và xyz theo a, b, c Ta có: a2 x y z 2 x y z 2 xy yz zx 1 1 1 1 xy yz zx 1 a2 b2 xyz c xy yz zx xy yz zx Từ x y z c xyz c 2 2 2 c a2 b2 a2 b2 xyz c. a b x3 y3 z3 3. a b 2 2 2 2 3c a2 b2 a 3b2 a2 x3 y3 z3 2 II.3. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi các biểu thức thành tích một cách phù hợp. Ví dụ 3.1. Phân tích đa thức thành nhân tử 2 2 a)x2 9 x 3 x 3 b)9x2 6xy y2 3x y c)6x 9 x2 x 3 Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần cố gắng phân tích được triệt để (càng nhiều nhân tử càng tốt) Các bài tập áp dụng 6/15
5. Vậy giá trị biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của biến x. c) x y x2 xy y2 x y x2 xy y2 2x3 x3 y3 x3 y3 2y3 Vậy giá trị biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của biến x. II. 6. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh đẳng thức: Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số kiến thức liên quan để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc vế phải bằng vế trái, hoặc cả hai vế về cùng biểu thức. Ví dụ 6.1. Chứng minh (10a 5)2 100a(a 1) 25 Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là số 5 và áp dụng để tính 252, 352, 652, 752. Giải: Biến đổi vế trái, ta có: (10a 5)2 100a2 100a 25 100a(a 1) 25 Bình phương của một số có hai chữ số và có tận cùng bằng chữ số 5 là một số có tận cùng bằng 25 và số trăm bằng tích số trục của số đem bình phương với số liền sau. Áp dụng: 252 = 625, 352 = 1225, 652 = 4225, 752 = 5625 Ví dụ 6.2. Chứng minh rằng: (a b)2 (a b)2 4ab Giải: Cách 1: Biến đổi vế trái, ta có: (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab 4ab b2 (a b)2 4ab VP Vậy đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Biến đổi vế phải, ta có: (a b)2 4ab a2 2ab 4ab b2 a2 2ab b2 (a b)2 VT Vậy đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức: Biến đổi vế trái: (a b)2 a2 2ab b2 Biến đổi vế phải: (a b)2 4ab a2 2ab 4ab b2 a2 2ab b2 Vế phải = Vế trái. Vậy đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 6.3. Cho a + b + c =2p Chứng minh rằng ( p a)2 ( p b)2 ( p c)2 p2 a2 b2 c2 Giải: Ta có: ( p a)2 p2 2ap a2 (1), ( p b)2 p2 2bp b2 (2), ( p c)2 p2 2cp c2 (3) Cộng vế với vế của (1), (2), và (3), ta có: 8/15
6. 2 2 2 Ví dụ 7.3. Cho D (x y) (x 1) ( y x) với x, y R . Tìm Dmin. D x2 2xy y2 x2 2x 1 y2 2xy x2 D 3x2 2 y2 2x 1 1 1 2 2 D ( 3x)2 2 3x. 2 y 3 3 3 1 2 2 2 D ( 3x ) 2 y 3 3 1 2 Vì ( 3x )2 0  x R, 2 y2 0  y R , do đó D  x, y R 3 3 2 1 2 1 Suy ra: Dmin= khi ( 3x )2 0 và 2y 0 x , y 0 3 3 3 2 1 Vậy Dmin= khi x , y 0 3 3 II.7.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức có dạng phân thức II.7.2.1. Phân thức có tử số là một hằng số, mẫu số là một đa thức bậc hai (hoặc ngược lại) 2 Ví dụ 7.4. Tìm giá trị lớn nhất của phân thức A x2 x 1 2 2 Giải: Ta thấy A 2 1 3 x x 1 (x )2 2 4 1 3 3 Vì (x )2 với mọi x, nên A luôn luôn có dạng một phân số dương, tử số là 2 4 4 2 8 1 hằng số nên A lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất. Vậy Amax = x . 3 3 2 4 II.7.2.2. Phân thức có tử là một đa thức bậc hai, còn mẫu thức là bình phương của một nhị thức x2 x 1 Ví dụ 7.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức A (x 1)2 x2 2x 1 3x 3 3 (x 1)2 3(x 1) 3 3 3 Với mọi x 1, ta có A 1 (x 1)2 (x 1)2 x 1 (x 1)2 1 2 1 1 1 2 1 Đặt y khi đó: A 3y2 3y 1 A 3[( y y ) ] 1 3( y ) x 1 4 4 2 4 1 1 1 1 Vậy Amin= y hay x 1 (TMĐK đề bài) 4 4 x 1 2 10/15
7. Kiến thức hỗ trợ: 1.Một số tính chất của bất đẳng thức a b b a a b,b c a c a b  a b a c b d ac bc   c d  c 0  a b  a b 0 ac bc ac bd   c d  c d 0 2. Một số hằng bất đẳng thức a2 0; a2 0 xảy ra đẳng thức khi a = 0 a 0 xảy ra đẳng thức khi a = 0 3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 3.1. Dùng định nghĩa: Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B > 0 3.2. Dùng các phép biển đổi tương đương: Để chứng minh A > B ta biến đổi tương đương: a b a1 b1 a2 b2 an bn . Trong đó bất đẳng thức An>Bn luôn đúng, do quá trình biến đổi là tương đương nên ta suy ra A>B là đúng. 3.3. Dùng bất đẳng thức phụ: * Khai thác bài toán: Nhận xét 1: Nếu tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (1) và tang số mũ của biến, ta thu 2 1 (a8 b8 )2 128 1 được các kết quả như: a16 b16 2 2 215 Tổng quát, ta có bài toán sau: 1 Bài toán 1.1. Cho a + b = 1. Chứng minh rằng a2n b2n 22n 1 Để giải bài toán 1.1., ta áp dụng phương pháp quy nạp toán học và làm tương tự bài toán 1. Nhận xét 2: Tiếp tục khái quát bài toán 1.1, khi thay giả thiết a + b = 1 bởi giải thiết kn a + b = k, làm tương tự như trên ta có a 2n b2n 22n 1 Vậy, ta có bài toán 1.2. như sau n 2n k Bài toán 1.2. Cho a + b = k. Chứng minh rằng a 2n b 22n 1 12/15