Sáng kiến kinh nghiệm Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình Toán THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình Toán THCS

1. UBND HUYỆN GIA LÂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS Tác giả: Hồ Thị Lan Môn: Toán học Cấp học: THCS NĂM HỌC: 2016 - 2017
2. Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình toán THCS. A. ĐẶT VẤN ĐỀ. 1. Cơ sở lí luận. Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội. Vì vậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra. Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về hàm số là một phần học quan trọng trong chương trình lớp 9 THCS, một trong những phần mà trong các đề thi học sinh giỏi cũng như tuyển sinh vào lớp 10 thường ra . Đó cũng là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. 2. Cơ sở thực tiễn. Hàm số là dạng toán mà học sinh THCS coi là dạng toán khó và chứa đựng nhiều khái niệm mới, đồng thời hàm chứa nhiều dạng bài tập hay. Trong các kì thi vào lớp 10 THPT, kiến thức hàm số luôn đóng một vai trò quan trọng về điểm số song học sinh lại hay mất điểm về phần này vì dễ lẫn lộn giữa các khái niệm và không phân dạng được các bài toán để giải. Hàm số là chương học tương đối khó, các bái toán về hàm số rất đa dạng và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này chỉ nêu ra cách giải chung chưa phân dạng và phương pháp giải cụ thể gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên. Vì vậy việc nghiên cứu để “Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình Toán THCS” là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng tuyển sinh vào lớp 10 ở các trường THCS. 2
3. Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình toán THCS. Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ. Chú ý: Dạng đồ thị: Hàm hằng. Đồ thị của hàm hằng y = m Đường thẳng x = m (trong đó m R ) là một (trong đó x là biến, m R ) là đường thẳng luôn song song y một đường thẳng luôn song với trục Oy. x = m song với trục Ox. y y = m m x m O O x Đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) là một đường thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) luôn đi qua gốc tọa độ. Yy Yy (I) (II) (I) (II) x > 0, y > 0 x 0 x > 0, y > 0 x 0 ) 0 > a i ví ( x a = y Y O Y Xx O Xx y = ax (v íi a 0, y 0, y < 0 Đồ thị hàm số y = a x + b (a, b 0) là một đường thẳng (hình ảnh tập hợp các b điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm ( ; 0). a Cách vẽ: Bước 1. Xác định hai điểm thuộc đồ thị của hàm số bằng cách: Cho x = 0 y = b Giao điểm của đồ thị với trục tung có tọa độ (0;b) b Cho y = 0 x = Giao điểm của đồ thị với trục hoành có tọa độ a b ( ;0) a Bước 2. Biểu diễn hai điểm vừa xác định trên cùng một hệ trục toạ độ. Bước 3. Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm vừa vẽ để có đồ thị của hàm số. 4
4. Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình toán THCS. ❖ Dạng 1: Bài toán tính giá trị của hàm số, biến số. 1. Phương pháp giải - Thay giá trị của biến số, hàm số vào hàm số. - Tính giá trị của hàm số hay tìm biến số. 2. Ví dụ Ví dụ 1: a) Cho hàm số y = f(x) = 2x . Tính f(0); f(-1); f( 1 ); f( 5 ); f(a); f(a + b). 5 3 2 b) Cho hàm số y = g(x) = 2x2. Tính g(1); g( 1 ); g( 1 ); g(-2); g(a); g(a - b). 2 3 Hướng dẫn: Thay từng giá trị của x vào công thức xác định hàm số để tính giá trị của hàm số tại các giá trị đã cho của biến. Ví dụ 2: Cho hàm số y = f x = 2x + 3 a) Tính giá trị của hàm số khi x = -2; - 0,5; 0; 3; 3 2 b) Tìm giá trị của x để hàm số có giá trị bằng 10; -7 Giải: a) Ta có: Khi x = - 2 f 2 = 2.(-2) + 3= - 4 + 3 = - 1 1 1 1 x = f 2. 3 1 3 2 2 2 2 x = 0 f 0 2.0 3 3 x = 3 f 3 2.3 3 6 3 9 3 3 3 x = f 2. 3 3 3 2 2 2 b) +) Để hàm số y = f x 2x + 3 có giá trị bằng 10 2x + 3=10 7 2x = 10 - 3 2x = 7 x = 2 Vậy khi x = 7 thì hàm số có giá trị bằng 10. 2 +) Để hàm số y = f x = 2x + 3 có giá trị bằng -7 2x + 3 = -7 2x = -7 - 3 2x = - 10 x = - 5 Vậy khi x = - 5 thì hàm số có giá trị bằng -7. 3. Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hàm số y = 2x - 3 6
5. Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình toán THCS. ❖ Dạng 3. Điểm thuộc đồ thị, không thuộc đồ thị hàm số. 1. Phương pháp: - Thay hoành độ (hoặc tung độ) của điểm đó vào hàm số. - Nếu giá trị của hàm số bằng tung độ (hoặc hoành độ) thì điểm đó thuộc đồ thị hàm số. - Nếu giá trị của hàm số không bằng tung độ (hoặc hoành độ) thì điểm đó không thuộc đồ thị hàm số. 2. Ví dụ: Cho hàm số y = 2x – 1 a) Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số? Vì sao? A(0; 1) B(1; 1) C(-2; 5) b) Tìm điểm D bất kỳ thuộc đồ thị hàm số trên? Giải: a) Xét điểm A Thay x = 0 vào hàm số ta có: y = 2.0-1 = -1 ≠ 1 A đồ thị hàm số y = 2x - 1 Xét điểm B Thay x = 1 vào hàm số ta có: y = 2.1-1 = 1 B đồ thị hàm số y = 2x - 1 b) Cho x = 2 y = 2.2-1 = 3 D(2;3) đồ thị hàm số y = 2x – 1 3. Bài tập tương tự; Cho hàm số y = 2x2 + 1 Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số? Vì sao? A(-1; 3) B(1; 2) C(3; 18) D( 2 ; 9) ❖ Dạng 4. Bài toán xác định hàm số. 1. Phương pháp: Thay tọa độ điểm thuộc đồ thị hàm số ta tính các hệ số. Lưu ý: - Điểm nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0. - Điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0. 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất y = ax + 5 Tìm a để đồ thị hàm số đi qua điểm A (-2; 3) Giải: Để đồ thị hàm số y = ax + 5 đi qua điểm A (-2; 3) 3 = a.(-2) + 5 8
6. Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình toán THCS. 5 2m - 6 = -1 2m = 5 m = 2 5 Vậy với m = đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + 2 vuông góc với đường thẳng 2 y = 2x - 3 3. Bài tập tương tự: Bài 1: Xác định hàm số y = ax + b, biết: a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 và đi qua điểm A(1; -2) b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(-1; 4) c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = - x + 6 và đi qua A(- 1 ; - 9) Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình: y = (m -1)x + n a) Với giá trị nào của m và n thì (d) song song với trục Ox? b) Xác định phương trình của (d) biết (d) đi qua A(1; -1) và có hệ số góc bằng -3 Bài 3: Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm M(-2; 1/4). Tìm a ? ❖ Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng. Loại 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) trong đó xA xB và yA yB 1. Phương pháp : Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng (d) cần lập đi qua A và B có dạng y = ax + b (a 0). (1) Bước 2 : Do A (d) thay x = xA; y = yA vào y = ax + b ta có yA = axA + b (2) Do B (d) thay x = xB; y = yB vào y = ax + b ta có yB = axB + b Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: y A ax A b yB axB b Bước 3 : Giải hệ phương trình này tìm được a, b và suy ra phương trình đường thẳng (d) cần lập. Bước 4: Kết luận. 2.Ví dụ : 10
7. Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình toán THCS. Bài 2: Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có 2 hoành độ bằng và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 . 3 Loại 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua M(x0 ; y0) và có hệ số góc là k. 1. Phương pháp: Bước 1: Phương trình đường thẳng có hệ số góc k có dạng y = kx + b Bước 2: Đường thẳng này đi qua M(x0 ; y0) y0 kx0 b b y0 kx0 Bước 3: Phương trình đường thẳng cần tìm là y = kx y0 kx0 2. Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1 ; 2) và có hệ số góc là k = 4 Giải: Phương trình đường thẳng có hệ số góc k = 3 có dạng y = 3x + b Đường thẳng này đi qua M(1; 2) 2 4.1 b b 2 Phương trình đường thẳng cần tìm là y 3x 2 3. Bài tập tương tự: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là -3 và đi qua a) Điểm M(2;-3) b) Điểm N(-1; 4) c) Điểm E(3; 5 ) ❖ Dạng 6. Vẽ đồ thị hàm số. 1. Đồ thị hàm số y =ax (a≠ 0) • Dạng đồ thị: Là đường thẳng đi qua gốc tọa độ. • Cách vẽ: Bước 1: Xác định một điểm A bất kỳ thuộc đồ thị hàm số. Bước 2: Biểu diễn điểm A trên mặt phẳng tọa độ Bước 3: Vẽ đường thẳng OA ( đồ thị hàm số y =ax (a≠ 0) là đường y thẳng OA) 1 1 Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số: y x y x 2 2 2 O x 12 1 A
8. Phân dạng các bài toán về hàm số trong chương trình toán THCS. đường thẳng và đường cong. 1. Tìm giao điểm của hai đường thẳng. a) Phương pháp: - Lập phương trình hoành độ giao điểm và giải tìm hoành độ giao điểm. - Thay hoành độ vào hàm số ta có tung độ tương ứng. b) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm giao điểm của: (d1): y = 3x + 5 và (d2): y = x - 1 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm : 3x + 5 = x - 1 x = -3 Thay x = - 3 vào y = x - 1 y = - 4 Vậy tọa độ giao điểm hai đồ thị là (-3; -4) Ví dụ 2: Tìm m để đường thẳng y= - 3x + 6 và y = 5 x - 2m + 1 cắt nhau tại một 2 điểm nằm trên trục tung? Giải: Đường thẳng y = - 3x + 6 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 6. Đường thẳng y = 5 x - 2m + 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 2m +1. 2 Do đó để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung cần 5 -2m + 1 = 6 m = 2 2. Tìm tọa độ giao điểm của Parabol với đường thẳng. Cho (P) : y = ax2 (a 0) và (d) : y = mx + n. a) Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. - Giải phương trình tìm x. - Thay giá trị x vừa tìm được vào hàm số y = ax 2 hoặc y = mx + n ta tìm được y. + Giá trị của x tìm được là hoành độ giao điểm. + Giá trị của y tìm được là tung độ giao điểm. b) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = - 2x2 và (d) y = 2x - 4. Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có 2 2 2 - 2x = 2x - 4 2x + 2x - 4 = 0 x + x - 2 = 0 14