Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình vô tỉ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình vô tỉ

1. DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT STT CHỮ VIẾT TẮT NỘI DUNG 1 THCS Trung học cơ sở 2 HD Hướng dẫn 3 HS Học sinh 4 HSG Học sinh giỏi 5 SGK Sách giáo khoa 6 TXĐ Tập xác định 7 ĐK Điều kiện 8 ĐKXĐ Điều kiện xác định 1
2. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình vô tỉ là một đề tài lý thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỉ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy. Mỗi loại bài toán phương trình vô tỉ có những cách giải riêng phù hợp. Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Bên cạnh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán THCS và cả ở kì thi vào lớp 10 hàng năm. Chuyên đề '' Phương trình vô tỉ'' được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi vào lớp 10, ôn thi học sinh giỏi. Chuyên đề đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải phương trình vô tỉ: Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học sinh tự luyện. Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của Toán học qua các phương trình vô tỷ. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy cô và các em học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn! 2. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu Đề tài được nghiên cứu thực hiện khi giảng dạy HS lớp 9 từ năm học 2018- 2019 và tiếp tục áp dụng, có bổ sung trong năm học 2019-2020. 3. Phương pháp nghiên cứu Tôi sử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu sau: - Tìm đọc các tài liệu tham khảo: SGK đại số 8, SGK đại số 9, Sách bồi dưỡng đại số 8 và 9, Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9, Các đề thi vào lớp 10, các đề thi HSG môn Toán. 3
3. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận Khi giảng dạy bộ môn đại số lớp 9, chúng ta bắt gặp môt số dạng phương trinh vô tỉ đã được đề cập trong sách giáo khoa nhưng không phải mọi học sinh đều giải được các dạng bài tập này một cách nhuần nhuyễn và thành thạo. Thực tế cho thấy các dạng phương trình vô tỉ rất phong phú, đa dạng và nó cũng là một trong các dạng bài tập khó đối với học sinh cấp 2. Với suy nghĩ đó, tôi đã mạnh dạn đưa ra một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản và cách giải từng dạng phương trình đó nhằm giúp các em nắm được cách thức giải từng dạng bài từ đó giúp các em dễ dàng hơn khi giải phương trình vô tỉ và bồi đắp thêm cho các em niềm say mê, hứng thú học tập bộ môn toán. 2. Cơ sở thực tiễn của vấn đề Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9, tôi thấy đa số HS có nhận dạng được phương trình vô tỉ, nhưng đại đa số đều thấy khó, chưa nắm được cách giải của từng bài. Do đó, tôi mạnh dạn phân dạng một số bài tập nhằm giúp HS nhận dạng nhanh phương trình đó và từ đó tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Khi giải phương trình vô tỉ, chúng ta cần định hướng học sinh nắm vững các vấn đề sau: 2.1 Khái niệm về phương trình vô tỉ Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn ở dưới dấu căn. VD: x 1 x 2 3 2.2 Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung) - Tìm TXĐ (còn gọi là ĐK) của phương trình - Biến đổi đưa phương trình về các dạng phương trình đã học. - Giải phương trình vừa tìm được. - Đối chiếu với TXĐ rồi kết luận. 2.3 Các phương pháp giải phương trình vô tỉ Phương pháp 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình (thường dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc). Phương pháp 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài các phương pháp trên, thực tế giảng dạy còn một số phương pháp khó như: dùng bất đẳng thức, dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất, phương pháp nhân với biểu thức liên hợp, phương pháp đánh giá. Nhưng 5
4. II-BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1 (1) x 1 0 x 1 x 1 HD: (1) 2 2 x 3 x 1 (x 1) x 3x 0 x 3 Bài 2: Giải phương trình: x 2x 3 0 HD: Ta có: x 2x 3 0 2x 3 x x 0 x 0 x 0 2 2 x 1 2x 3 x x 2x 3 0 x 3 Trong 2 giá trị trên, dễ dàng nhận thấy chỉ có x=3 là nghiệm của phương trình. Bài 3: Giải phương trình: x 4 1 x 1 2x HD: Vế trái của phương trình chưa xác định được dương hay âm, nên không thể bình phương luôn hai vế. Ta có: x 4 1 x 1 2x x 4 1 2x 1 x 1 2x 0 1 x 1 x 0 2 2 x 4 1 2x 1 x 2 (1 2x)(1 x) 2x 1 2x 3x 1 1 1 1 x 2 1 1 x x 2 2 2x 1 0 2 2 x 0 x 0 2 2 2 (2x 1) 2x 3x 1 x 7x 0 x 7 Cái khó nữa trong dạng phương trình này là HS cần giải 2 lần TXĐ. Khi giải tiếp phương trình 2x+1= 2x 2 3x 1 HS rất hay quên TXĐ, thực tế đây lại là dạng phương trình giống như ở bài tập 1 và 2 vừa giải. Bài 4: Giải phương trình: x 2 3 x2 4 0 (1) x 2 0 x 2 HD:ĐK: 2 (*) x 4 0 PT (1) x 2 3 (x 2)(x 2) 0 x 2. 1 3 x 2 0 x 2 0 x 2 17 (2) 1 3 x 2 0 x 9 Kết hợp (*) và (2) ta được: x = 2 Bài 5. Giải phương trình : 3 x x 3 x 7
5. – Nếu m = 0: phương trình trở thành x( x 1) 0 có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1 – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ( x m)( x m 1) 0 x m 0 x 1 m 2 + Nếu 0 1: phương trình có một nghiệm: x = m III- BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1:Giải các phương trình sau: a) x x 1 13 b) 3 x 34 3 x 3 1 c) 2x 5 3x 5 2 d) x 3 5 x 2 e) x 2 5 0 f) x 1 x 7 12 x Bài 2: Giải phương trình: a) x2 1 x 1 b) x 2x 3 0 c) x2 x 1 1 d) 3 x 6 x 3 e) 3x 2 x 1 3 f) 3 x 2 x 1 g) x 9 5 2x 4 h) 3x 4 2x 1 x 3 i) x 4x 3 2 Bài 3: Cho phương trình: x2 1 x m a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm. PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC: Sử dụng hằng đẳng thức sau: 2 f (x) g(x) ( f (x) 0) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) ( f (x) 0) II-BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: x2 4x 4 x 8 (1) HD: (1) (x 2)2 8 x |x – 2| = 8 – x – Nếu x < 2: (1) 2 – x = 8 – x (vô nghiệm) – Nếu x 2 : (1) x – 2 = 8 – x x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5. Bài 2: Giải phương trình: x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 (2) x 1 0 HD: (2) x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1 x 1 (*) x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1| Đặt y = x 1 (y ≥ 0) phương trình(*) đã cho trở thành: y 1 | y 3 | 2 | y 1| 9
6. 2 2 x 2 b) Điều kiện: x 2 0 x 2 x 2 Ta có: x2 7 x2 2 8 0 x2 2 7 x2 2 10 0. 2 Đặt x2 2 t (t 0) x2 2 t2 , ta có phương trình ẩn t: t 7t 10 0 2 7 3 7 3 ( 7) 4.1.10 9 3 t1 5(t/m); t2 2(t/m) 2 2 2 2 Với t1 5 x 2 5 x 27 x1 27 3 3(t/m), x2 27 3 3 (t/m) 2 2 Với t2 2 x 2 2 x 6 x3 6 (t/m), x4 6 (t/m). Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt: x1 3 3, x2 3 3, x3 6, x4 6. Bài 2: Giải phương trình: x - 2 + 2x - 5 + x + 2 + 3 2x - 5 = 7 2 (1) Hướng dẫn: (Đây chính là bài 3 ở dạng trên, như vậy chúng ta có thể giải bài tập này theo 2 cách) 5 Điều kiện: x 2 Đặt: 2x - 5 = y 0 2x - 5 = y2 (1) 2(x 2) 2 2 5 2x 4 6 2x 5 14 Có: 2(x – 2) + 2 2x 5 = ( 2x 5 )2 + 2 2x 5 + 1 = y2 + 2y + 1 = (y + 1)2 2x + 4 + 6 2x 5 = ( 2x 5 )2 + 6 2x 5 + 9 = y2 + 6y + 9 = (y + 3)2 (1) y2 + 2y + 1 + y2 + 6y + 9 = 14 y + 1 + y + 3 = 14 do y 0 nên: y + 1 + y + 3 = 14 2y = 10 y = 5 (thỏa mãn điều kiện y 0) 5 2x - 5 = 5 với điều kiện x thì cả 2 vế không âm 2 Bình phương cả 2 vế ta có: 2x - 5 = 25 2 x = 30 x = 15 Phương trình đã cho có một nghiệm x = 15. Nhận xét : Cách này có phần phức tạp hơn cách ở phương pháp 2 nói trên. 11
7. Đặt: x2 4 u; x v , thì phương trình có dạng: u2 + 2v2 – 3uv = 0 (u – v)(u – 2v) = 0 u = v hoặc u = 2v * Với u = v: x2 4 x x2 4 x => Phương trình vô nghiệm * Với u = 2v: x2 4 2 x x2 4 4x x 2 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 2 Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: a) x 2 3x 1 (x 3) x 2 1 b) x 3 4x 2(x 3) x 3 20 12 c) x 1 3 x (x 1)(3 x) 2 2. Một số sai lầm mắc phải khi giải phương trình vô tỉ: Thông thường khi giải phương trình vô tỉ, học sinh thường hay mắc một trong các sai lầm sau: - Quên không tìm tập xác định khi giải phương trình - Không đặt điều kiện khi biến đổi tương đương 2.1. Quên không tìm tập xác định của phương trình: Ví dụ: Giải phương trình: 2 + 2x 1 = x (1) Học sinh thường giải: (1) 2x 1 = x- 2 2x – 1 = x2 – 4x + 4 x2 – 6x + 5 = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x1 = 1; x2 = 5 * Sai lầm trong cách giải trên là: Học sinh không tìm điều kiện xác định của phương trình nên kết luận nghiệm của phương trình không chính xác (giá trị x = 1 không là nghiệm của phương trình) 2.2. Không đặt điều kiện khi biến đổi tương đương: Ví dụ: Giải phương trình: x + 2 - 2x - 6 = 2 (1) Học sinh giải: (1) x + 2 = 4 + 4 2x 6 +2x - 6 4 2x - 6 = 4 - x (3) 13
8. 3. x 1 x 3 Tôi đã có kết quả cụ thể như sau: Điểm < 5 5 - 6 7 8 - 10 Từ 5 - 10 SL % SL % SL % SL % SL % Chưa triển khai 16 57,1 8 28,6 4 14,3 0 0 12 42,9 chuyên đề Đã triển khai 2 7,1 9 32,2 10 35,7 7 25 26 92,9 chuyên đề * Nhận xét: Kết quả trên tôi thu được từ việc kiểm tra 28 học sinh trong đợt ôn tập thi vào 10 với chuyên đề giải phương trình vô tỉ sau khi các em đã được làm quen và trực tiếp học chuyên đề “Phương pháp giải phương trình vô tỉ”. Qua kết quả trên tôi nhận thấy sau khi học chuyên đề này thì việc giải phương trình vô tỉ không còn khó đối với học sinh đối tượng khá, giỏi, điều cần lưu ý ở đây là giáo viên cần giúp các em nắm được các dạng bài, phương pháp giải các dạng bài và biết cách nhận xét với mỗi bài toán để tìm ra cách giải phù hợp nhất. 15