Báo cáo biện pháp Rèn luyện năng lực tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc hướng dẫn khai thác và phát triển các bài toán trong sách giáo khoa Toán 7

Nội dung text: Báo cáo biện pháp Rèn luyện năng lực tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc hướng dẫn khai thác và phát triển các bài toán trong sách giáo khoa Toán 7

1. A-ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận. Ở trường THCS, dạy học Toán là hoạt động Toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Các bài toán là phương tiện rất có hiệu quả trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức đồng thời phát triển tư duy và hình thành kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn. Tổ chức có hiệu quả việc hướng dẫn học sinh giải các bài tập Toán có ý nghĩa quyết định tới chất lượng dạy và học Toán. Để làm được điều đó thì trong dạy học Toán, đặc biệt là dạy giải bài tập toán thì người thầy giáo cần quan tâm tới việc phát triển năng lực thực hiện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa và các năng lực nhìn nhận các vấn đề Toán học trong nhiều góc độ khác nhau, đề xuất các hướng giải quyết vấn đề trên cơ sở các góc độ nhìn nhận đó. Tôi cho rằng hệ thống kiến thức trong sách giáo khoa là nguồn quan trọng cần được khai thác để làm tốt nhiệm vụ phát triển năng lực toán học như đã nêu ở trên cho học sinh. 2 Cơ sở thực tiễn. Trong những năm gần đây chất lượng giáo dục của trường tôi đang công tác tăng lên rõ rệt: Sĩ số học sinh tăng nhanh, tỷ lệ % thi đỗ vào lớp 10 THPT công lập đạt 80% – 85%, đội tuyển thi học sinh giỏi cấp quận, cấp thành phố đứng tốp 3 toàn quận. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán lớp 7 theo chương trình sách giáo khoa mới nhiều năm liên tục, do đó tôi có nhiều thời gian để tiếp cận với nội dung, chương trình môn Toán lớp 7. Qua nghiên cứu hệ thống kiến thức trong sách giáo khoa Toán lớp 7 và thực tiễn giảng dạy, tôi thấy cuốn sách giáo khoa Toán 7 được biên soạn khá công phu, sắp xếp hệ thống kiến thức khoa học. Hệ thống bài tập đa dạng kích thích được tính tìm tòi sáng tạo của học sinh nhất là học sinh khá giỏi. Đặc biệt các bài tập thường đơn giản, nhưng nghiên cứu kỹ sẽ thấy trong đó chứa đựng rất nhiều điều thú vị và bổ ích. Do vậy trong quá trình dạy giải bài tập toán cho học sinh tôi luôn chú trọng tới việc hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển các bài toán trong sách giáo khoa và coi đây là một biện pháp quan trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Qua 2 năm áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào giảng dạy tôi thấy nhiều định lý, tính chất toán học và các bài tập trong sách giáo khoa lớp 7 đã được học sinh tìm tòi giải được bằng nhiều cách khác nhau hoặc khai thác phát triển thành những bài toán mới hay hơn, khó hơn, tổng quát hơn tạo được hứng thú học tập cho học sinh, "Thầy đố trò, trò đố thầy" say mê, sôi nổi . Bằng cách làm đó đã giúp tôi đạt được những kết quả nhất định trong việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán, đặc biệt là chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi. 1
2. B- NỘI DUNG ĐỀ TÀI Đề tài “Rèn luyện năng lực tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển các bài toán trong sách giáo khoa Toán 7” nghiên cứu và đưa ra 3 hướng khai thác, phát triển các bài toán theo cấp độ tăng dần của tư duy: 1. Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau; 2. Khai thác & phát triển bài toán đã cho thành những bài toán mới; 3. Hướng dẫn học sinh xây dựng bài toán tổng quát từ bài toán cụ thể. I. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU. Ví dụ 1: Bài toán 1: Chứng minh định lý: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân. ( Bài số 42 trang 73 SGK Toán 7 tập 2). Lời giải Cách 1: A Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA 1 2 Xét ∆ MAC và ∆ MNB có : MB = MC (gt); 1 11 B C ̂1 = 2 ̂ ( đối đỉnh) 2 M MA = MN ( cách vẽ) => ∆ MAC =∆ MNB( c.g.c) =>AC = BN (1) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ N Và 2 = mà 1 = 2 (gt) => 1 = ̂ => ∆ BAN cân tại B => BA= BN (2) Từ (1) và (2) => AB = AC => ∆ ABC cân tại A 3
3. Cách 4: 1 2 Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M xuống các cạnh AB, AC. Ta có : F E Diện tích ∆ MAB = 1/ 2 MF.AB (1) B M C Diện tích ∆ MAC = 1/ 2 ME.AC (2) Mặt khác các ∆ MAB và ∆ MAC có chung đường cao kẻ từ A và 2 cạnh tương ứng bằng nhau: BM= MC(gt) =>Diện tích ∆MAB = Diện tích ∆MAC (3) Từ (1), (2), (3): => MF. AB = MF. AC (4) Xét 2 tam giác vuông ∆ EAM và ∆ FAM có ̂1 = 2 ̂ (gt), AM chung. => ∆ EAM = ∆ FAM => MF= ME ( 5) Từ ( 4) và (5) => AB = AC =>∆ ABC cân tại A Cách 5: Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M xuống AB; AC. Có 2 khả năng xảy ra: Trường hợp 1: A Các góc B, C cùng nhọn: 1 2 Xét các tam giác vuông ∆EAM và ∆FAM có: ̂ = ̂ (gt), AM chung. E F 1 2 => ∆EAM = ∆FAM => MF= ME . B M C Mà MB = MC (gt) => ∆ EMB = ∆ FMC ( Cạnh huyền, cạnh góc vuông) => ̂ = ̂ => ∆ ABC cân tại A. 5
4. Cách 7: Qua M và A kẻ các đường thẳng lần lượt song song với AB và BC, các đường thẳng này cắt nhau tại N, MN cắt AC tại K. A N 3 Xét ∆ MAB và ∆ AMN có 1 2 1 ̂ = 1 ̂ ( so le trong), AM chung K và ̂ = ̂ ( so le trong) => ∆ MAB = ∆ AMN ( g.c.g) 1 B 2 C => BM = AN M Mà BM = MC (gt) => MC = AN. Kết hợp với các điều kiện ̂2 = ;̂ ̂ = ̂3 ( so le trong) => ∆KMC = ∆ KNA ( g.c.g) => AK = KC (1) Mặt khác: 1 ̂ = 2 ̂ (gt), 1 ̂ = 1 ̂ ( so le trong) =>1 ̂ = ̂2 => ∆ KAM cân tại K => AK=KM(2) Từ (1) và (2) => KM = KC => ∆ KMC cân tại K => ̂ = ̂2 Mà ̂ = 2 ̂ ( đồng vị ) => ̂ = ̂ =>∆ ABC cân tại A Cách 8 : Qua M kẻ đường thẳng // AC và qua B kẻ đường thẳng // AM, các đường thẳng này cắt nhau tại D. Gọi K là giao điểm của AB và MD. Xét ∆ BDM và ∆ MAC có ̂ = ̂ ( đồng vị), MB= MC(gt) và ̂ = ̂ ( đồng vị ) =>∆ BDM = ∆ MAC (g.c.g) => AM = BD, ̂ = ̂2 7
5. bài số 39 sách bài tập Toán 7 – Tập 2 trang 28 ) => AQ và AP cùng vuông góc với CQ, điều này là vô lý => trường hợp ̂ ̂ = 900 => ̂ = 900 Xét các tam giác vuông: ∆ AMB và ∆AMC có ̂1 = 2 ̂ (gt), AM chung =>∆ AMB =∆AMC =>∆ABC cân tại A Ví dụ 2: Bài toán 2: a c Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức : ( a – b 0, c – d 0) b d a b Ta có thể suy ra tỉ lệ thức = c d a b c d (Bài 63 trang 31 SGK Toán 7 tập 1 NXB Giáo dục 2003) Lời giải a c a c a b Cách 1: Từ => 1 1 => = c d b d b d b d a b c d CM Tương tự ta có: b d a b a b c d c d a b c d => : : => = b b d d a b c d Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau a c a b a b a b a b => = và = b d c d c d c d c d => a b = a b => a b = c d c d c d a b c d 9
6. Ví dụ 3: Bài toán 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2001 + x 1 (Bài 141 trang 23 sách bài tập toán 7 tập 1) Lời giải Cách 1: ( Lời giải trong sách bài tập Toán 7 tập 1) Theo bài 140 a ( Bài 140a : Cho x, y Q chứng tỏ rằng x 2001 + x 1 = 2001 x + x 1 ( 2001 – x) + ( x -1) = 2000 Dấu = xảy ra khi 2001 – x và x -1 cùng dấu, tức là 1 x 2001 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2000; khi 1 x 2001 Cách 2: Ta xét các trường hợp sau: Nếu x A = x 2001 + x 1 = -x + 2001 – x + 1 = -2x + 2002 Vì x -2x -2x+ 2002> 2000 hay A > 2000/ - nếu 1 x 2001 => A = x 2001 + x 1 = -x – 2001+ x -1 = 2000 =>A = 2000 - Nếu x> 2001 => 2x > 4002 => 2x – 2002> 4002 – 2002= 2000 => A>2000 Tử các trường hợp xét trên suy ra giá trị nhỏ nhất của A là 2000 đạt được khi 1 x 2001 Cách 3: Trên trục số, Điểm N biểu diễn số 1, điểm P biểu diễn số 2001 và điểm M biểu diễn theo số x Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số ta có x 2001 chính là số đo đoạn thẳng MP , x 1 là số đo đoạn thằng MN. Do đó A = x 2001 + x 1 = NM+ MP 1 x 2001 N M P => Tổng NP+ MP nhỏ nhất khi điểm M x 1 2001 thuộc đoạn NP tức là 1 x 2001 M N P Khi đó giá trị nhỏ nhất của A là 1 2001 x N P M 2001 – 1= 2000 đạt được khi 1 x 2001 Cách 4: Ta có A A, dấu = xảy ra khi A 0. Do đó: x 2001 = 2001 x 2001 – x 11
7. Bài toán 4.1: Cho tam giác ABC, I là 1 A điểm nằm trong tam giác. Hãy so sánh góc BAC và góc BIC. I B K C Từ lời giải bài toán 4 sẽ giúp ta tìm được lời giải của bài toán 4.1 bằng cách kẻ tia AI căt BC tại K. Ngoài ra ta có thể giải bài toán 4.1 theo cách khác mà không cần kẻ thêm đường phụ như sau: Xét BIC có ̂ + ̂ + ̂ = 1800 (1) ABC có ̂ + ̂ + ̂ = 1800 (2) Mà ̂ ̂ + ̂ + ̂ = ̂ + ̂ + ̂ => ̂ = ̂ + ̂ + ̂ Từ kết quả này các em đã xây dựng được bài toán mới như sau : Bài toán 4.2 Cho tam giác ABC, I là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng ̂ = ̂ + ̂ + ̂ . Không dừng lại ở đây, tiếp tục cho học sinh khai thác kêt quả bài toán 4.2 bằng cách đặc biệt hóa vị trí của điểm I là giao điểm của các đường phân giác của ABC, khi đó học1 sinh đều nhận xét được:1 ̂ ̂ ̂ ̂ 0 ̂ + = 0 1 (￿￿￿ + ￿￿￿) (180 − ) = 90 − ̂ 2 = 2 2 0 1 0 1 Do đó ̂ = ̂ + 90 − ̂ = 90 + ̂ 2 2 Đến đây ta có bài toán mới như sau: 13
8. Ví dụ 5: Bài toán 5: Cho tam giác ABC , Â = 90 0, góc C = 30 0 . CMR AB = 1/2BC. A C B I Cách 1: Kẻ tia Ax nằm giữa 2 tia AB, AC : ̂ = 300; I BC => IAC cân tại I => IA=IC (1) Mặt khác ABC vuông tại A => ̂ = ̂ − ̂ = 900 - 300 = 600 Góc B=900 - 300 = 600  ̂ = ̂ = 600  IAB là tam giác đều => AI = IB (2)  Từ (1) và (2) => AI =BI=IC  AB= 1/2 BC Cách 2: D A C B Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB =AD =>AB = 1/2BD(1) ̂ =900 => AC  BD => AC là đường trung trực của BD => BC = CD => CBD là tam giác cân tại C => Đường cao CA đồng thời là đường phân giác. => ̂ = 2 ̂ = 2.300 = 600 => CBD là tam giác đều => BD = BC(2) Từ ( 1) và (2) AB = 1/2 BC. 15
9. E A B Cách 1: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia CE sao cho góc ACE = 300 , E thuộc tia BA  ̂ = ̂ + ̂ =30o + 30o = 600 Trên tia Cx lấy E sao cho CB = CE => CBE cân tại E. Mà ̂ = 600 => CBE là tam giác đều=> BE =BC(1) o Nối AE. Xét CBE và ABC có BC = CE, 1 ̂ = ̂2= 30 và CA chung => ABC = AEC(c.g.c) => AB = AE Mà AB =1/2 BC => AB+AE =BC(2) Từ (1) (2) => BA+AE =BE. Điều này chứng tỏ A BE => A là trung điểm của BE => CA là trung tuyến của CBE đều. => CA đồng thời là đường cao => AC  BE hay ̂ =900 D A B C Cách 2: Giả sử ̂ 900 Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại M. MBC vuông tại M có =̂ 300 nên theo kết quả bài toán.Ta suy ra: BM= 1/2 BC Mà AB=1/2 BC (gt) => AB =BM Điều này không thể xảy ra vì MAC vuông nên ta có AB > BM => điều giả sử trên sai, vậy ̂ = 900 . Tiếp tục tìm tòi bài toán mới bằng cách cho học sinh lấy điểm D trên tia CA sao cho CD = CB, sau đó cho học sinh nhận dạng CBD và so sánh AB và CD, từ đó một số học sinh đã xây dựng thành bài toán mới như sau. 17