Báo cáo biện pháp Sử dụng bất đẳng thức Cô - Si trong giải toán THCS

Nội dung text: Báo cáo biện pháp Sử dụng bất đẳng thức Cô - Si trong giải toán THCS

1. PHÐNG GD&ỐT QUỐN ỐỐNG ỐAT RỐỐNG THCS THỐI THỐNH SÁNG KIẾN KINH NGHIfiM SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI TRONG GIẢI TOÁN THCS MÔN TOÁN Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường Giáo viên môn Toán Năm học 2013 - 2014
2. Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS MỞ ĐẦU  I. Lý do chọn đề tài Toán học nói chung và toán học phổ thông nói riêng đã giúp người học, người nghiên cứu nó có được kiến thức, tư duy logic và khả năng suy luận. Đối với những học sinh trung học cơ sở, toán học đã hình thành cho các em những kiến thức cơ sở ban đầu, những kiến thức cơ bản nhất của toán học hiện đại. Qua những bài học, những vấn đề toán cùng với những cách thức suy luận đã giúp các em hình thành tư duy toán học. Toán học sơ cấp có lẽ là mảng toán học đòi hỏi trí thông minh, óc tư duy linh hoạt của người học, trong đó bất đẳng thức là vấn đề hay và khó. Từ các lớp trung học cơ sở, học sinh được giới thiệu một cách cơ bản nhất về bất đẳng thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Và hầu hết những người đã học bất đẳng thức, ai cũng biết về một bất đẳng thức kinh điển, nổi tiếng: bất đẳng thức Cô-si. Nhưng một thực tế chung đối với học sinh phổ thông là việc vận dụng bất đẳng thức Cô - si vào giải toán gặp rất nhiều khó khăn. Khó khăn đầu tiên là không biết cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si. Khó khăn thứ hai là không biết bất đẳng thức Cô - si có thể ứng dụng vào việc giải những dạng toán nào? Chính vì vậy, để giúp các em học sinh có thể khắc phục phần nào những khó khăn trên, tôi viết đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán trung học cơ sở" II. Nhiệm vụ, mục đích của đề tài Đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS" sẽ giới thiệu đến với học sinh về bất đẳng thức Cô - si; những kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si và việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si trong giải toán THCS. Đề tài được viết theo cách thức lý thuyết đi kèm với ví dụ minh họa. Bên cạnh việc cung cấp, tổng kết những cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si, đề tài còn Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 3
3. Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 1. NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn. Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 5
4. Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 2. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI (CAUCHY) 1. Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 xn ≥ 0 ta có: x x x n • Dạng 1: 1 2 n x x x n 1 2 n n • Dạng 2: x1 x2 xn n x1 x2 xn n x x x n 1 2 • Dạng 3: x 1 x2 xn n Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: x 1 x2 xn Hệ quả 1: n S Nếu:x 1 x2 xn S const thì: Max P x x xn 1 2 n S khi x x x n 1 2 n Hệ quả 2: n Nếu: x 1x2 xn P const thì: Min S x x x n P 1 2 2 n khi x1 x2 xn P 2. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ): n = 2:  x, y ≥ 0 khi đó: n = 3:  x, y, z ≥ 0 khi đó: x y x y z 2.1 xy 3 xyz 2 3 2.2 x y 2 xy x y z 3 3 xyz 3 x y 2 x y z 2.3 xy xyz 2 3 2.4 x y 2 4xy x y z 3 27xyz 1 1 4 1 1 1 9 2.5 x y x y x y z x y z Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 7
5. Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 3. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI 3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ”. Đánh giá từ tổng sang tích. Bài 1: Chứng minh rằng: a2 b2 b2 c2 c2 a2 8a2b2c2 a,b, c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng:  x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 ≥ 0 x2 + y2 ≥ 2xy. Do đó: a2 b2 2ab b 2 c 2 2bc a2 b2 b2 c2 c2 a2 8a2b2c2 a,b,c (Sai) 2 2 c a 2ca 2 2 Ví dụ: 3 5 24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) 4 3 Lời giải đúng: 2 2 Sử dụng BĐT Cô Si: x + y ≥ 2 x2 y2 = 2|xy| ta có: 2 2 a b 2 ab 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c 2 bc 0 a b b c c a 8| a b c | 8a b c a,b,c (Đúng c2 a2 2 ca 0 ) Bình luận: • Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. 2 2 • Cần chú ý rằng: x + y ≥ 2 x2 y2 = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương. • Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Cô Si. Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 9
6. Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 1 1 1 1 b c d Côsi bcd 1 - 1 1 = 3 3 1 a 1 b 1 c 1 d 1 b1 c1 d 1 b 1 c 1 d Vậy: 1 3 bcd 3 0 1 a 1 b 1 c 1 d 1 cda 1 b 3 3 0 1 abcd 1 c 1 d 1 a 1 1 a 1 b 1 c 1 d 81 1 a 1 b 1 c 1 d 3 dca 0 1 c 3 1 d 1 c 1 a 1 abc 3 3 0 1 d 1 a 1 b 1 c 1 abcd 81 Bài toán tổng quát 1: Cho: x , x , x , , x 0 11112 3 n 1 1 CMR : x x x xn n n 1 1 2 3 n 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 3 n Bình luận: • Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biền thì việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh BĐT dễ dàng hơn a,b,c 0 1 Bài 6: Cho CMR : 1 1 1 8 (1) a b c 1 a 1 b 1 c Giải 1 a 1 b 1 c b c c a a b Côsi 2 bc 2 ca 2 ab VT (1) . . . . . . 8 (đpcm) a b c a b c a b c Bài toán tổng quát 2: Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 11
7. Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 13
8. Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS thức bậc hai của b) do đó ta phải phân tích về thành tích của các đa thức bậc nhất đối với b, khi đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu. Vậy ta có: a b b 1 2 = (a - b)( b + 1)( b + 1) ta phân tích a theo 2 cách sau: b 1 b 1 2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoặc a +1 = a b 2 2 Từ đó ta có (1) tương đương : 4 b 1 b 1 4 VT + 1 = a 1 a b 2 a b b 1 2 2 a b b 1 b 1 Côsi b 1 b 1 4 4.4 a b . . . 4 ĐPCM 2 2 a b b 1 b 1 1 a 2a3 1 2 Bài 5: CMR : 3  4b(a b) a 1 b Giải Nhận xét: Dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a. Chuyển đổi tất cả biểu thức sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc sử lí với 1 biến sẽ đơn giản hơn. Biến tích thành tổng thì đây là một mặt mạnh của BĐT Cô-si. Do đó:2 2 b a b a Ta có đánh giá về mẫu số như sau: 4.b a b 4. 4. a2 2 4 ôsi 1 2a3 1 Côsi 2a3 1 a3 a3 1 1 C 33 a.a. 3 Vậy: a a 4b(a b) a2 a2 a a b a b a 1 Dấu “ = ” xảy ra 1 1 a 2 b a 2 Bình luận: • Trong việc xử lí mẫu số ta đã sử dụng 1 kỹ thuật đó là đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b. Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 15
9. Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Cô-si và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến. 1 Bài 1: Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của S a a Giải 1 1 Sai lầm thường gặp của học sinh: S a ≥ 2a =2 a a 1 Dấu “ = ” xảy ra a a = 1 vô lí vì giả thiết là a ≥ 2. a Cách làm đúng: 1 Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để sao cho khi áp dụng a BĐT Cô-si dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau: 1 1 a; (1) Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): a 1 (sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm) a; (2) 1 a 1 2 a, a a 1 2 1 = 4. a; (3) 1 1 2 a a 2 a; (4) a a 1 3a 3a 3.2 5 Vậy ta có: S 2 a 1 1 . Dấu “ = ” xảy ra a = 4a44 44 a 2 2. Bình luận: • Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tăc biên để tìm ra = 4. Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 17
10. Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS a,b,c 0 3 1 1 1 Bài 3: Cho a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của S a b c a b c 2 Giải Sai lầm thường gặp: 1 1 1 1 1 1 S a b c 66 a.b.c. . . 6 Min S = 6 a b c a b c Nguyên nhân sai lầm : 1 1 1 3 Min S = 6 a b c 1 a b c 3 trái với giải thiết. a b c 2 Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi a b c 1 2 1 1 a b c Sơ đồ điểm rơi: a b c 2 1 2 4 2 11 1 22 a b c Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau: a b c 1 2 a b c 2 4 1 2 4 2 1 1 1 2 2 2 a b c Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 như sau: 1 1 1 1 1 1 S 4a 4b 4c 3 a b c 66 4a.4b.4c. . . 3 a b c a b c a b c 3 15 1 15 12 3. . Với a b c thì MinS = 2 2 2 2 a,b,c 0 Bài 4: Cho 2 1 2 1 2 1 a b c 3 . Tìm GTNN của S a b c b2 c2 a2 2 Giải Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 19